Bessere Noten durch Dimensionsanalyse

Beim Lösen von Übungsaufgaben will ich immer sichergehen, dass sie richtig sind. Welche Möglichkeiten außer Musterlösungen gibt es aber dafür?

In diesem Artikel geht es um einen kleinen Trick, mit dem du schnell überprüfen kannst, ob deine Lösung sinnvoll ist. Besonders in der Klausur ist dieser Trick sehr wertvoll und wirkt präventiv gegen das Nicht-Bestehen.

Der Trick heißt Dimensionsanalyse und klingt komplizierter als es in Wirklichkeit ist. Die Anwendung der Dimensionsanalyse sollte eigentlich selbstverständlich sein. Trotzdem habe ich in meinem ersten Studienjahr nichts davon gehört. Schämen sollte ich mich.

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Verschwenden wir also keine Zeit und fangen an.

Die meisten physikalischen Größen besitzen abstrakte Dimensionen. Und jede Dimension wird in SI-Einheiten gemessen. (Es sei denn du bist in den USA, wo sie immer noch meilenweit vom metrischen Systementfernt sind.) So hat zum Beispiel die Länge die Dimension [L] und wird üblicherweise in eckigen Klammern geschrieben und in Metern gemessen.

Wichtigste Dimensionen

Folgende Liste ist fundamental und zeigt dir die wichtigsten Dimensionen mit ihren Einheiten. (Ich mag die eckigen Klammern nicht und lasse sie deshalb weg.)

  1. Länge hat Dimension und wird in m (Metern) gemessen.
  2. Masse hat Dimension und wird in kg (Kilogramm) gemessen.
  3. Zeit hat Dimension und wird in s (Sekunden) gemessen.
  4. Geschwindigkeit hat Dimension L/T und wird in m/s (Meter pro Sekunde) gemessen.
  5. Beschleunigung hat Dimension L/T² und wird in m/s² (Meter pro Sekunde-Quadrat) gemessen.
  6. Kraft hat Dimension ML/T² und wird in kg·m/s² (Meter pro Sekunde-Quadrat) gemessen.
  7. Energie hat Dimension ML²/T² und wird in J =kg·m²/s² (Joule) gemessen.

Das Coole ist, dass man eigentlich nur die ersten drei Dimensionen braucht: L, M und T. Denn das Meiste kann man daraus ableiten und muss nichts auswendig lernen. (Ich entschuldige mich vor allen Mathematikerinnen und Mathematikern für die folgende Willkür.)

Dimension der Geschwindigkeit

Was ist Geschwindigkeit? Weg (= Länge=ds) geteilt durch Zeit (=dt):

 \frac{ds}{dt}

Die Dimension der Geschwindigkeit ist folglich: L/T


Ein kurzer Exkurs für ganz Frische: Ableitung

Ableitung und Differentialquotient einer Funktion sind schicke Bezeichnungen für die Steigung einer Funktion: Ändere ich eine beliebige Variable t um einen kleinen Betrag dt, so ändert sich die Funktion f(t) um den Betrag df. Die Steigung ergibt sich, wenn ich df durch dt teile. Ganz einfach. 

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Um das Prozedere des Differenzierens für kompliziertere Funktionen zu vereinfachen, benutzt man die Ableitungsregeln wie z.B. die Ketten- oder Produktregel.    

Was dich später im Studium erwartet, ist sehr spannend. Denn man fragt sich dann: Was passiert, wenn ich diese Änderungen wirklich klein – unendlich klein – mache?
Und wie kann ich das Ganze mathematisch aufschreiben? Welche Schlüsse kann ich daraus ziehen? Das alles und natürlich viel mehr wird in Differential- und Integralrechnung behandelt. 


Dimension der Beschleunigung

Die Beschleunigung erhält man, wenn man die Geschwindigkeit ableitet:

 \frac{d}{dt}\frac{ds}{dt} =\frac{d^{2}s}{(dt)^{2}} 

Daraus ergibt sich die Dimension: L/T²

Dimension der Kraft

Was die Dimension der Kraft angeht, so ist die Kraft gleich Masse mal Beschleunigung:

F = m\cdot a

Folglich ist die Dimension der Kraft: ML/T²

Dimension der Energie

Es gibt viele Definitionen der Energie. Aber die Definition der potentiellen Energie ist weit bekannt: E = m*g*h. Wobei m die Masse, g die Erdbeschleunigung und h die Höhe bezeichnet. Daraus lässt sich leicht die Dimension der Energie merken:

M*L/T²*L = ML²/T²

Fehler finden

Du vermeidest leichtsinnige Fehler, die dich in der Klausur viele schmerzhafte Punkte kosten würden, wenn du die Dimensionen in deiner Rechnung explizit mitschreibst.

Berechnen wir zum Beispiel die Ruheenergie des Elektrons:

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An diesem einfachen Beispiel erkennst du zwei wichtige Punkte.

Erstens, die Einheiten werden immer mitgeschleppt: Mit ihnen wird genauso wie mit den Zahlen gerechnet. Dabei gelten folgende Regeln:

  • Addieren und Subtrahieren geht nur mit denselben Einheiten.
  • In Funktionen wie z.B. exp(), ln(), cos(), sin(), etc. dürfen nur dimensionslose Zahlen stehen. Warum? Später im Studium wirst du erfahren, dass man Funktionen als Reihe schreiben kann:
     sin(x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + ...  
    Und da die Einheiten mitgerechnet werden, muss x dimensionslos sein.

Zweitens, um deine Berechnung zu überprüfen, musst du deine Einheiten checken:
Schreibe alle Einheiten mit und kürze, was gekürzt werden kann. Am Ende musst du sicherstellen, dass die Dimension richtig ist: In diesem Beispiel ist sie gleich ML²/T². Wenn nicht, dann hast du etwas falsch gemacht.

Dimension unbekannter Konstanten

Auch die Dimension einer neuen Konstanten in der Gleichung lässt sich leicht mithilfe der Dimensionsanalyse bestimmen. Betrachten wir zum Beispiel das Newtonsche Gravitationsgesetzt.

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Wir wollen herausfinden, in welchen Einheiten die Gravitationskonstante gemessen wird. Google ist natürlich die schnellste Lösung. Aber eine physikalischere Methode besteht in der Umformung der Konstanten nach ihrer Dimension.

In der Grafik oben siehst du auf der linken Seite die Dimension der Kraft und auf der rechten Seite die Dimensionen der beiden Massen und des Abstandsquadrats. Umgeformt ergibt sich die Dimension der Gravitationskonstanten und damit ihre Einheiten.

Diese Methode ist fantastisch. Denn in meinem ersten Jahr habe ich ständig nachgeschaut, in welchen Einheiten eine bestimmte Konstante oder eine Größe gemessen wird.

Mit der Dimensionsanalyse bestimme ich jedoch nicht nur die Einheiten, sondern ich richte meinen Fokus auf das Wesentliche: die Art der Wechselwirkung.

Es ist zum Beispiel viel cooler zu wissen, ob eine Wechselwirkung ein 1/r- oder 1/r²-Gesetz ist, als zu wissen, welchen Wert die Gravitationskonstante beträgt.

Zahlen sind unwichtig. Viel wichtiger ist das Verstehen.

Zusammengefasst:

  • Dimensionsanalyse ist eine wirkungsvolle Methode gegen Fehler in deiner Rechnung.
  • Einheiten werden mitgerechnet.
  • Addiert und subtrahiert wird nur mit denselben Einheiten.
  • Argumente in den Funktionen wie exp(x), ln(x) etc. müssen dimensionslos sein.

Was gefällt dir (nicht) an diesem Artikel? Sollte ich mehr Posts dieser Sorte schreiben, in denen es um solche Tricks geht? Oder hast du andere Themenvorschläge?

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Ressourcen:

  • Biological Physics: Energy, Information, Life von Philip Nelson

 

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