Mathematik lernen: 4+ fantastische Tipps für Erfolg und gegen Angst

In meiner dritten Mathematik-Vorlesung kam in mir der Verdacht auf, dass ich ein kompletter Idiot bin.

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Der Verdacht löste eine Reihe von Kettenreaktionen der Selbsterkenntnis aus, die mir geholfen haben, mit der Mathematik im Frieden zu studieren. Die wichtigsten Produkte dieser Kettenreaktion findest du in diesem Artikel.

In diesem Blogbeitrag geht es darum, wie du vor allem die Mathematik-Vorlesungen schneller und besser verstehst, falls du natürlich die Vorlesungen überhaupt besuchst.

Die Mathematik zu lernen gleicht dem Eintauchen in eine völlig neue Sprache:
Am Anfang versteht man das stumme Nichts. Dann erkennt man simple Bruchstücke. Später kann man bestimmte Muster und Zusammenhänge identifizieren. Letztendlich beherrscht man mehr oder weniger die Sprache der Mathematik.

Bevor ich mein Wissen mit dir teile, möchte ich dich beruhigen:

  • Niemand versteht 100% der Vorlesung.
  • Kaum jemand versteht 90% der Vorlesung.
  • Die Meisten verstehen 20% der Vorlesung.
  • Kaum jemand würde selbst auf bestimmte Lösungswege kommen, die von der Professorin oder vom Professor vorgerechnet werden.
  • Wenn du dich dumm fühlst, dann bist du nicht alleine.
  • Die Übungsaufgaben sind für alle schwierig und viele kommen selten auf die richtigen Lösungen.
  • Beweise und Herleitungen sind schwer zu verstehen, aber manche Dinge wie Differenziale, Integrale, Operatoren u.ä. wirst du trotzdem anwenden können.
  • Nicht zu verstehen ist ein notwendiger Teil des Verstehens.
  • Am Ende des Studiums wirst du immer noch nicht sehr viel verstehen. Dafür wirst du aber das Gefühl haben, etwas verstehen zu können, wenn du nur wolltest.
  • Zu dem letzteren Punkt gehört auch die Tatsache, dass du nach deinem Studium nicht alle Physikaufgaben ad hoc berechnen können wirst. Denn an dem Punkt wirst du ziemlich viel vergessen haben. Aber das Entscheidende ist: Du kannst dich sehr schnell in die Themen wieder einarbeiten.

In diesem Sinne trainierst du dein Gehirn auf Mustererkennung und übst dich im mathematischen Denken. Dieses Denken ist genau das, worauf Physiker so stolz sind: Sie können Komplexität auf wesentliche Bestandteile zurückführen und Zusammenhänge schnell erkennen.

Aber wir sind noch nicht so weit. Wir sitzen in der Mathe-Vorlesung und verstehen nichts. Wie gehen wir also vor?

1) Führe eine sehr gute Mitschrift.

Das mag trivial klingen. Aber glaube mir: Das wird dir sehr viel Zeit und unnötige Mühe ersparen.

Ein Vorzeichenfehler beispielsweise wird dir viel Kopfschmerzen und Frustration beim Nacharbeiten bereiten. Dir Schmerzen zufügen werden ebenso andere kleine Fehler, die dir unterlaufen können. Konzentriere dich also darauf, dass dein Skript komplett und richtig ist.

Dazu gehört auch, dass auch dein Professor keine blöden Fehler macht. Wenn du dir unsicher bist, dass du etwas richtig von der Tafel abgeschrieben hast, dann frage deinen Nachbar. Und wenn er sich ebenso  nicht sicher ist, dann melde dich und frage den Professor. So einfach ist das.

2) Sitze neben schlaueren Leuten als du.

Ich bilde mir gerne ein, dass bestimmte Eigenschaften eines Menschen durch soziale Interaktionen diffundieren können: So wie bei ungleichmäßiger Verteilung Teilchen aus dem Bereich hoher Konzentration in den Bereich niedrigerer Konzentration diffundieren, kann die Intelligenz eines intelligenteren Studenten in meinen Kopf hinüberfließen – denn er hat sehr viel davon.

Das könnte absolut möglich sein. Und gleichzeitig könnte es unmöglich sein.
Man weiß es nicht.

Wie dem auch sei.

In Wirklichkeit ist der Grund ganz einfach: Ein schlauer Nachbar oder eine schlaue Nachbarin versteht die Vorlesung besser als du. Ergo kannst du ihnen deine Fragen stellen, bevor du dich meldest. Denn, wenn auch sie die Antwort nicht wissen oder etwas nicht verstehen, dann kannst du dir ganz sicher sein, dass es kaum jemand versteht. Du kannst dich also ganz selbstbewusst melden und deine Frage stellen.

3) Identifiziere das große Bild.

Die Mathematik-Vorlesung hat meistens den gleichen Aufbau: Definitionen, Lemmas, Beweise, Nebenrechnungen und einfache Beispiele, die für deine Übungsaufgaben nur wenig Nutzen bringen.

Während sich der Professor in einer der Nebenrechnungen verliert oder einen Beweis präsentiert, kannst du diese Zeit nutzen, um den Überblick zu bekommen:

Was passiert hier eigentlich? Worum geht es in der Vorlesung überhaupt? Identifiziere das große Bild oder die große Idee der Vorlesung. Denn von den großen Hauptthemen verästelt sich alles Andere, was zuerst irrelevant ist, denn das kannst du im Nachhinein bearbeiten.

Wenn du aber das große Bild nicht siehst, weißt du nicht, was du nicht verstehst und dementsprechend kannst du für dich relevante und wichtige Fragen nicht stellen.

4) Nacharbeiten ist das Wichtigste überhaupt.

Es geht gar nicht um die Vorlesung. Sie ist nur ein Übertragungsmittel des Wissens, das du noch nicht besitzt. Und der Professor ist bloß ein Helfer, der dieses Wissen übermittelt und den Vorgang des Verstehens erleichtern oder erschweren kann. Oft ist es das Letztere. Es kommt aber auf den Professor an.

Dein Skript sollte deshalb deine heilige Schrift sein, von der goldene Strahlen ausgehen, wenn du sie anschaust. Orientiere dich am Material, das in deiner Mitschrift steht. Mache nicht zu viel. Übertreibe nicht. Denn du hast keine Zeit dafür.

I) Spezielle Fragen

Nachdem du in der Vorlesung die großen Fragen identifiziert hast, gehst du zu spezielleren Fragen über: Was passiert in diesen Beweisen? Wie genau wurden diese Beispiele berechnet? Wann ist diese Definition erfüllt?

Dabei sind Farben sehr wichtig. Ich war selbst ein starker Gegner der Benutzung der Farben in den Naturwissenschaften und ein großer Anhänger der Monotonie und der Konstanz der blauen Tinte und des Bleistifts. Bis ich die Farben in meine Mitschrift gebracht habe. Danach hat sich mein Leben verändert.

Nein. Wirklich. Farben sind sehr wichtig, denn sie verschaffen deinem Skript eine gut merkbare Struktur, trennen wichtige Bereiche voneinander und machen einfach Spaß. Finde auch du deinen eigenen Farbcode: Für die Hauptthemen oder den Hauptstrang der Vorlesung rot zum Beispiel. Für die Nebenrechnungen braun, für die Beispiele blau, etc.

II) Google ist dein Freund.

Es gab Zeiten, in denen ich für mehrere Minuten meine Mitschrift stupide angestarrt und keine Antwort bekommen habe. Ich wusste ganz genau, was ich nicht verstanden habe. Ebenso wusste ich, was ich tun sollte, um das zu verstehen.

Ich habe es aber nicht getan, denn ich hoffte, die Mitschrift durch meinen furchterregenden Blick zum Reden zu bringen. Scientology funktioniert aber nicht. Google dagegen schon.

Verschwende auch du keine Zeit. Wenn du zum Beispiel einen bestimmten Teil des Skripts nicht verstehst, weil du nicht weißt, wie der Tangens Hyperbolicus sich im Unendlichen verhält, dann zögere nicht und google den Tangens.

III) Panda vs. Rogen

Egal, ob du deine Vorlesung besuchst oder nicht, musst du sie nacharbeiten. Verliere außerdem keine Zeit, wenn du merkst, dass die Professorin oder der Professor aus einem Buch abschreibt und nur wenig oder gar nichts erklärt:
Die Zeit kannst du besser nutzen, wenn du dieses Buch selbstständig und ordentlich bearbeitest.

Es gibt zwei Methoden, die Vorlesung nachzuarbeiten:

a) Die Panda-Methode

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Diese Methode besteht darin, dass du deine Mitschrift gründlich nacharbeitest. Das bedeutet, dass du jedes Wort und jeden Schritt verstanden haben musst. Wenn du einen Schritt nicht verstehst, dann rechnest du selbst nach oder googelst nach bestimmten Termen. Danach kehrst du wieder zum Beginn der Beweiskette oder der Herleitung, die du gerade bearbeitest.

Die Methode möchte ich die Panda-Methode nennen, weil man sich für sein Skript entscheidet und es als das einzige Material zum Nacharbeiten benutzt: Genau wie die Pandamutter, die sich für ein Jungtier entschiedet und es pflegt. (In der Biologie wird das die K-Strategie genannt.)

b) Die Rogen-Methode

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Bei der zweiten Methode orientierst du dich an deinem Skript, um mehrere andere Quellen wie Bücher oder Internetressourcen zu finden. Diese Ressourcen dienen dir dann als dein Bearbeitungsmaterial. Diese Methode kann deshalb aufwendiger sein.

Ein Vorteil jedoch ist, dass jede Quelle einen Teil besser erklären kann als andere Ressourcen. Kombiniert man mehrere Quellen miteinander, so kann man alle Themen, Beweise und Herleitungen besser verstehen als sonst. Natürlich setzt das das Wissen voraus, welchen Teil oder welche Teile eine bestimmte Quelle besser erklärt.

Da man bei der Methode mehrere Quellen benutzt, möchte ich diese Methode als die Rogen-Methode bezeichnen.(In der Biologie wird das die r-Strategie genannt.)

Ich liebe diese Methode, weil sie der puren Anwendung einer grundlegenden Methode, genannt „contrasting cases“, entspricht.

 

Hier ist ein einfaches Beispiel zur Verdeutlichung der Methode.

Sagen wir, du willst verstehen, was den Buchstaben P ausmacht. Dabei kannst du
dir immer wieder dasselbe Bild oder viele kontrastierende Fälle anschauen*:

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Natürlich wirst du mit der zweiten Methode schneller und tiefer begreifen, was die nebensächlichen Differenzen sind, und, was das zugrundelegende und unveränderliche Prinzip ist.

Genau das passiert auch, wenn du mit unterschiedlichen Quellen arbeitest: Du kontrastierst die Themen in deinem Skript und verstehst die zugrundeliegenden Prinzipien dadurch viel besser.

Es gibt Leute, die beispielsweise nur ungern mit mehreren unterschiedlichen Fachbüchern arbeiten, weil sich dort die mathematische Schreibweise unterscheidet. Das ist sehr schade. Denn dieser Nachteil wird zum Vorteil, wenn man ein wenig dran bleibt. Denn dann fällt alles Unwesentliche weg und die fundamentalen Prinzipien leuchten ein.

Doch auch beim Bearbeiten der Fachbücher darfst du nicht einfach drauf los lesen. Die wichtigste Variable im Studium und im Leben überhaupt ist die Zeit: Du darfst keine Zeit verlieren.

– Überfliege flüchtig den Text bzw. die Rechnung.

Fange ähnlich wie beim Nacharbeiten der Vorlesung mit dem großen Bild: Was sind die großen Fragen? Was wird bewiesen? Was will man zeigen? Was steht am Anfang und am Ende des Textes bzw. der Rechnung? Welches Resultat erhält man am Ende der Rechnung? Denn oft weiß man gar nicht, was man zu berechnen oder zu beweisen hat.

– Nach dem Überfliegen kannst du die spezifischen Fragen und Schritte identifizieren.

 

 

Um zu zeigen, dass ich meine Ratschläge selbst befolge, möchte ich sie an zwei Seiten aus meiner damaligen Mathe-Vorlesung anschaulich machen.

1) Führe eine sehr gute Mitschrift

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Wie du siehst, kann man die Vorlesungsstruktur klar erkennen: Wichtige Definitionen sind mit rot, gelb und gold markiert und stechen heraus. Beispiele sind mit blau und marginale Rechnungen oder Bemerkungen sind mit grün umrahmt.

Wozu die ganzen Farben?

Es geht nicht darum, den Vorlesungsstoff auswendig zu lernen. Es geht viel mehr darum, eine klare Struktur zu schaffen, um beim Nacharbeiten und Berechnen von Übungsaufgaben wichtige Vorlesungsinhalte sehr schnell zu finden.

2) Sitze neben schlaueren Leuten als du.

Ich habe immer neben schlaueren Leuten als ich gesessen. Ich habe sehr viel von ihnen gelernt. Und ich bin ihnen sehr dankbar.

3) Identifiziere das große Bild.

Um das große Bild zu erkennen, lasse ich alles außer den drei Definitionen weg.
Die großen Fragen lauten dann: Womit beschäftigt sich die lineare Algebra?
Was ist ein Vektorraum? Was ist ein Unterraum?

Das große Bild ist jedoch noch nicht fertig. Denn ich frage: Wie hängt die erste Frage mit den letzteren Fragen zusammen?

Die Vorstellung, dass ein Unterraum einfach ein kleiner Raum im Vektorraum ist, finde ich logisch.

Ich überfliege die Vorlesung noch ein Mal.

Die lineare Algebra ist im Großen und Ganzen durch diese Gleichung definiert:
L(u) = v.
Ich verstehe sie noch nicht, aber es ist mir vollkommen egal, denn ich will zuerst das große Bild sehen.

In „Struktur der Lösungsmenge“ steht, dass die Lösungen dieser Gleichung einen Vektorraum bilden. Super. Das reicht mir:

Die lineare Algebra ist eine Gleichung. Die Lösungen dieser Gleichung bilden Vektorräume. Und Vektorräume beinhalten Unterräume.

4) Nacharbeiten ist das Wichtigste überhaupt.

I) Das große Bild ist mir klar. Nun muss ich speziellere Fragen stellen:

Was genau ist L in der Gleichung L(u) = v?
Wie genau ist ein Vektorraum definiert? D.h. wodurch ist er definiert?
Wie genau ist ein Unterraum definiert? D.h. wodurch ist er definiert?

II) Google ist mein Freund.

Die Antworten auf diese Fragen stehen bereits im Skript. Wenn ich aber zum Beispiel nicht weiß, was eine lineare Abbildung ist, dann google ich das einfach.

Nachdem ich diese Fragen beantwortet habe, gehe ich zum nächsten Punkt über.

III) Panda vs. Rogen

Die Grundstruktur ist mir klar geworden. Ich verstehe alle Definitionen und Begriffe. In diesem Fall entscheide ich mich für die Panda-Methode, weil die Themen ziemlich einfach sind.

Mit dem Bearbeiten der Beispiele verleihe ich der starren Grundstruktur ein wenig Leben und Bewegung:

Es wird mir klar, dass die lineare Algebra viel spannender ist, als ich gedacht habe: Denn man kann damit nicht nur bloße lineare Gleichungen lösen, sondern sie beschäftigt sich auch mit linearen Differenzial- und Integralgleichungen. Ich hätte nie im Leben gedacht, dass Integrale etwas mit Vektoren zu tun haben!

 

Und genauso fahre ich mit der Vorlesung fort: Zuerst verstehe ich das Konzept, dann die spezielleren Themen, dann schau ich mir die Beispiele an und staune, wie aufregend Mathematik sein kann – auch, wenn ich nur kleine Bruchstücke begreife.

Welche Methode du wählst, hängt von deiner Vorlesung, deinem Professor und deinen Vorlieben ab. Du musst dich auch nicht für immer für eine Methode entscheiden: Variiere, experimentiere und habe Spaß am Lernen.
Der Erzfeind des Lernens ist nicht die Faulheit oder die Dummheit, sondern die Langeweile. Lass dich also nicht langweilen, finde Wege und Methoden, deine Vorlesung und dein Studium allgemein spannend und aufregend zu halten: Ob du das mithilfe der Panda-Methode oder etwas Anderem tust, ist egal. Hauptsache, es funktioniert.


In meiner letzten Mathe-Vorlesung erinnerte ich mich an den Verdacht, dass ich ein kompletter Idiot bin. Nach all den Jahren meines harten Ringens gegen Mathematik, nach all den Höhen und Tiefen wusste ich endlich: Der Verdacht war nicht unbegründet.

 

 

 


* Das Beispiel habe ich aus diesem wunderbaren Artikel über Elon Musk geklaut.

 

 

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