Physik: Herangehensweise an Aufgaben

Man kann wirklich frustriert werden, wenn man sich mit Leuten vergleicht, die Aufgaben enorm schnell lösen. Die Lösungswege scheinen für sie einfach und selbstverständlich zu sein. Sie schütteln ein wenig an ihrem Baum der Klugheit und die Lösungen fallen logischerweise wie gereifte Äpfel ab.

Ich hätte auch gern so einen Baum.

In diesem Artikel werden wir den Baum pflanzen.

Dabei geht es um die überlebenswichtigsten Fragen im Physikstudium: Wie geht man an Physikaufgaben heran? Gibt es geheime Tipps und Strategien zur Herangehensweise? Was sind die besten Arbeitsweisen?

Zur Beantwortung dieser Fragen verknüpfe ich meine Erfahrung mit den Prinzipien eines Milliardärs, eines Psychologieprofessors und eines Mathematikers.

 

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Wie löst man also Aufgaben?

Mental Models

Was ich am Physikstudium besonders liebe, sind die Prinzipien oder die sogenannten mental models, die man dabei sammelt. Und nein, das sind nicht einfach mentale Modelle, die du bei Wikipedia nachschauen kannst.

Mentale Modelle sind Ideen und Theorien, mithilfe derer wir die Welt besser
verstehen können. Sie repräsentieren die Realität, falls es sie gibt, in unserem Kopf.
Ludwig Wittgenstein, einer der einflussreichsten und genialsten Philosophen des
20. Jahrhunderts, schrieb, dass die Welt alles ist, was der Fall ist. Mentale Mo-
delle erklären, was der Fall ist. Anders gesagt, sie sind große Ideen und Theorien
aus allen wissenschaftlichen Disziplinen, wie zum Beispiel Physik, Chemie, Biologie, Philosophie und Psychologie.

Die praktische Anwendung von mental models wurde von Charles Munger – einem Investor, Milliardär und lebender Legende – in seiner berühmt gewordenen Vorlesung an der Stanford Law School popularisiert. Hier ist eine Passage, die Gold wert ist:

„I’ve long believed that a certain system – which almost any intelligent person can learn – works way better than the systems that most people use. As I said at the U.S.c. Business School, what you need is a latticework of mental models in your head. And you hang your actual experience and your vicarious experience (that you get from reading and so forth) on this latticework of powerful models. And, with that system, things gradually get to fit together in a way that enhances cognition. And you need the models – not just from one or two disciplines, but from all the important disciplines. You need the best 100 or so models from microeconomics, physiology, psychology particularly, elementary mathematics, hard science and engineering [and so on]. You don’t have to be a huge expert in any of those fields. All you’ve got to do is take the really big ideas and learn them early and well. You can’t learn those 100 big ideas you really need the way many students do – where you learn ‚em well enough to bang ‚em back to the professor and get your grade and then you empty them out as though you were emptying a bathtub so you can take in more water next time. If that’s the way you learn the 100 big models you’re going to need, [you’ll be] an „also ran“ in the game of life. You have to learn the models so that they become part of your ever-used repertoire. (Lecture by Charles T. Munger to the students of Professor William Lazier at Stanford Law School, Outstanding Investor Digest, December 29, 1997, p. 24.)“

(Aus „Seeking wisdom“ von Peter Bevelin, meine Hervorhebung)

Meine Übersetzung:

Seit langem glaube ich, dass ein bestimmtes System – das beinahe jede intelligente Person lernen kann – viel besser funktioniert als Systeme, die die meisten Menschen benutzen. Wie ich an der U.S.c. Business School sagte,
was Sie brauchen, ist ein Latticework der mentalen Modelle in Ihrem Kopf.
Und Sie hängen Ihre eigentliche Erfahrung und Ihre stellvertretende Erfahrung
(die sie aus Büchern u.a. bekommen) an das Gitter dieser mächtigen mentalen Modelle. Mit diesem System passen Dinge allmählich auf eine Art zusammen,
die Ihre Kognition verbessern. Und Sie brauchen mentale Modelle – nicht nur aus einer Disziplin, sondern aus allen wichtigen Disziplinen. Sie brauchen die besten 100 oder so aus der Mikroökonomik, Physiologie, insbesondere Psychologie, Elementarmathematik, exakten Wissenschaften und Ingenieurwissenschaften, usw. Sie müssen nicht ein großer Experte in irgendeiner dieser Disziplinen sein. Alles, was Sie tun müssen, ist wirklich große Ideen zu nehmen und sie frühzeitig und gut zu begreifen. Aber Sie sollen diese 100 Ideen nicht wie die vielen Studenten lernen – wo Sie sie gut genug können um sie dem Professor zu erzählen; und gleich nach der Prüfung machen Sie Ihren Kopf leer, als ob Sie eine Badewanne leeren damit Sie das nächste Mal mehr Wasser nehmen können. Wenn das die Art und Weise ist, wie Sie die 100 großen Ideen lernen, die Sie brauchen werden, dann werden Sie ein Verlierer im Spiel des Lebens sein. Sie müssen die Modelle lernen, sodass sie ein Teil Ihres festen Repertoires werden.

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So sieht ein Gitter aus 7 Ideen aus, wenn man sie zufällig 100.000 Mal miteinander verbindet.

Ich möchte spezifizieren, was unter latticework of mental models gemeint ist:
Das ist ein Prozess, in dem wir die Ideen begreifen und sehen, wie wir sie miteinander verknüpfen können. Und manchmal kommt dabei viel mehr heraus als die Summe einzelner Ideen: Sie wirken synergetisch.

OK, Dimtrij, das ist interessant und klingt gut – aber wie kann ich diese mental models auf meine Physikaufgaben anwenden?

Von Anfang an lernst du im Studium neue Modelle kennen: die Newtonschen Gesetze, den Energieerhaltungssatz, Skalierbarkeit und Extrapolation – um nur einige Beispiele zu nennen. Diese Modelle liegen jetzt in deinem mentalen Werkzeugkoffer.

Wenn du ein (physikalisches) Problem lösen willst, dann musst du zuerst nach den passenden Werkzeugen in diesem Koffer suchen. Deswegen ist es besonders wichtig, dass du deine mental models richtig bildest.

Wie bildet man aber ein mentales Modell richtig?

Dies kann in drei Schritten erfolgen.

  1. Schritt: Bedeutung
    Betrachte eine Idee und verstehe ihre zugrundeliegende Bedeutung.
  2. Schritt: Vereinfachung
    Vereinfache alles, was du vereinfachen kannst. Weg mit all dem haarigen Müll, der die Klarheit der Idee trübt. Stelle dabei gute Fragen: Was soll das? Warum und wozu soll ich das verstehen? Inwiefern ist es für mein Studium oder mein Leben wichtig? Was bringt mir das überhaupt?
    Werden noch mehr Informationen meine Entscheidungen beeinflussen? Oder
    werden sie nur noch mehr mentalen Müll erzeugen? Nachdem du das Modell sauber vereinfacht hast, kannst du es mit folgenden Fragen schärfen: Was bedeutet das eigentlich? Was ist die wichtigste Frage? Kann ich zeigen, dass mein Modell oder meine Lösung falsch ist? Was ist das allereinfachste Beispiel, das mein Modell oder das vorliegende Problem klar illustriert?
  3. Schritt: Modellierung der Realität
    Beschreibe die Idee mit einem kurzen Satz und assoziiere sie mit einem lebhaften und anschaulichen Bild. Sowohl der Satz als auch das Bild müssen die Nützlichkeit dieser Idee zeigen.

Ein Beispiel: Das zweite Newtonsche Gesetz.

 \vec{F} = m\cdot \vec{a}

  1. Schritt: Bedeutung
    Kraft gleich Masse mal Beschleunigung? Eben nicht. Siehst du die Pfeile über und m – das sind Vektoren. Was ist ein Vektor? Stelle dir vor, ich nehme einen sehr kleinen Punkt und verschiebe ihn im Raum: Zum Beispiel von links nach rechts oder von oben links nach unten rechts – egal wie. Und dann zeichne ich den Weg dieser Verschiebung; dabei zeige ich mit dem Pfeil die Richtung der Verschiebung an. Und genau das ist ein Vektor: Weg und Richtung. Ich verstehe. Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung. Und die Richtung der Beschleunigung darf dabei nicht vergessen werden. Oder ist das Masse mal Beschleunigung gleich Kraft? Was habe ich und was wird bestimmt? Wie wäre es mit: Beschleunigung ist gleich Kraft geteilt durch Masse.

     \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}

    Die Beschleunigung, die Änderung der Geschwindigkeit also, hängt davon ab, wie die Kraft oder die Masse verändert wird.

  2. Schritt: Vereinfachung
    Ich vergesse für einen Moment, dass Kraft und Beschleunigung Vektoren sind und betrachte sie als Zahlen: Vergrößere ich die Kraft und halte die Masse konstant, so nimmt die Beschleunigung zu. Umgekehrt verhält es sich aber mit der Änderung der Masse: Mit der größer werdenden Masse nimmt die Beschleunigung ab, wenn die Kraft konstant gehalten wird.
  3. Schritt: Modellierung der Realität
    Ich will schneller sein und höher springen. Was muss ich dafür tun? Ich muss trainieren. Aber ich darf nicht einfach drauflos trainieren, denn meine Fähigkeit zur Selbst-Beschleunigung ist gleich meine Kraft geteilt durch meine Masse. Folglich muss ich tatsächlich echtes Krafttraining und kein Bodybuilding betreiben, damit ich keine zusätzliche Masse zulege.

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Wir wissen jetzt, wie mental models gebildet werden. Sie zu sammeln und anzuwenden ist eins der Hauptziele deines Studiums.

Die wichtigste Frage haben wir jedoch immer noch nicht beantwortet: Wie gehe ich an Physikaufgaben heran? Dafür können wir sie umformulieren: Wie wende ich die im Studium erlernten mental models  auf die Übungsaufgaben an?

Mit dieser Umformulierung sind wir mittendrin im Bewältigen der Physikaufgaben.

Die Aufgabe knacken

Die Anwendung der mental models ist der erste Schritt im folgenden Algorithmus, mit dem ich an die meisten Aufgaben herangehe:

  1. Um welche mental models geht es in der Aufgabe?
  2. Was ist gefragt? Was muss ich berechnen?
  3. Übersetze Normalsprache in Physiksprache. Was ist gegeben? Gibt es versteckte Hinweise?
  4. Skizziere den Vorgang.
  5. Löse die Aufgabe und beachte dabei die Dimensionsanalyse.
  6. Ist meine Lösung richtig? Kann ich sie verbessern? Kann ich sie vereinfachen?

 

Um welche mental models geht es in der Aufgabe?

Wenn dir die Bezeichnung mental models nicht gefällt, dann ersetze sie mit Prinzipien, Formeln, Ansätze oder Gesetze – wichtig ist nicht der Name, sondern der Sinn dahinter. Bei den Übungsaufgaben dreht es sich normalerweise um den Stoff, den man bereits in der Vorlesung behandelt hat.

Das Identifizieren von mental models bereitet also meistens keine Probleme: Eine Aufgabe zur schiefen Ebene zum Beispiel bedeutet, dass du das zweite Newtonsche Gesetz, das Kräfte-Gleichsetzen und ein wenig Hantieren mit den trigonometrischen Funktionen beherrschen musst.

Falls du jedoch bass erstaunt vor einer Aufgabe sitzt und dich fragst, ob es in der Vorlesung überhaupt behandelt wurde, dann betrachte einfach alle gegebenen Variablen. Danach beantworte folgende Frage: Welche Formel beinhaltet diese Variablen? Die Wahrscheinlichkeit ist groß, dass du auf die richtige Formel kommst.

Was ist gefragt? Was muss ich berechnen?

Die Fragen scheinen selbstverständlich zu sein. Aber so einfach ist es nicht immer. Ein primitives Beispiel wären die Aufgaben, bei denen man etwas beweisen muss: Gefragt ist ein Beweis, aber wie du das beweist und was du dabei berechnest, ist eine ganz andere Frage.

Identifiziere also, was gefragt ist. Und mache dir klar, wie du das berechnen kannst: Ob du etwas differenzieren, integrieren, gleichsetzen oder transformieren musst.


Übersetze Normalsprache in Physiksprache. Was ist gegeben? Gibt es versteckte Hinweise?

Normalsprache in Physiksprache übersetzen bedeutet, dass du jede Aussage in der Aufgabenstellung mathematisch aufschreibst. Was wird erwähnt? Die Beschleunigung, die maximale Geschwindigkeit, die Kraft? OK, schreibe die Information gleich als Variablen auf: a, vmax, F.

Oft gibt es versteckte Hinweise, die man erst beim Umwandeln in Variablen bemerkt.

So bedeutet vmax  meistens, dass man eine Funktion ableiten und gleich Null setzen muss, um weitere Informationen zu bekommen.

Skizziere den Vorgang.

Eine Skizze sagt mehr als tausend Variablen. Skizzierst du jedes Mal die Situation in der Aufgabenstellung, so entwickelst du Schritt-für-Schritt die Intuition für physikalische Vorgänge.

Löse die Aufgabe und beachte dabei die Dimensionsanalyse.

Löse die Aufgabe und überspringe dabei so wenig Schritte wie möglich. Am Anfang wird es sich mühselig anfühlen, jeden einzelnen Babyschritt zu schreiben. Doch im Laufe des Studiums wirst du das automatisieren und die Babyschritte im Kopf berechnen können.

Ist meine Lösung richtig? Kann ich sie verbessern? Kann ich sie vereinfachen?

Neben dem eigentlichen Lösen der Aufgabe ist das der wichtigste Punkt:
Du musst deine Lösung mit der oder einer richtigen Lösung vergleichen
.

Die Musterlösungen werden im Seminar vorgerechnet. Wenn du also dort nicht anwesend sein kannst, dann besorge dir die Lösungen von deinen Kommilitonen. 

Meine Strategie war etwas anders. Da ich ein großer Bücherwurm bin, blättere ich gerne in vielen Büchern drin – auch, wenn ich sie nicht lese. Also habe ich mir von Anfang an die meisten Physik- und Mathematiklehrbücher angeschaut und dabei einen groben Überblick bekommen, wo und was zu finden ist. Außerdem kann ich ganz gut im Internet recherchieren. Beides führte dazu, dass ich die Musterlösungen recht schnell finden konnte. Und gleich nachdem ich mit dem Aufgabenlösen fertig war, verglich ich sie mit der Musterlösung. Meistens war meine Lösung falsch. Also habe ich nochmal gerechnet ohne in die Musterlösung zu schauen. Und verglich meine Lösung ein zweites Mal – wenn sie nicht korrekt war, dann wiederholte ich dieses Prozedere ein weiteres Mal. Das klingt aufwendig. Dafür habe ich jedoch das Seminar nur selten besucht.

Aber der Punkt 6 endet nicht mit einem bloßen Vergleich mit der Musterlösung. Er geht darüber hinaus: Verbessere deine Lösung.

Vielleicht kannst du sie durch einen anderen Ansatz schneller oder allgemeiner lösen. Denke darüber nach. Wenn dir nichts einfällt, dann finde eine andere Musterlösung oder frage deine SeminarleiterInnen nach einer besseren Lösung.

Deliberate practice

Es lohnt sich, eine Zwischenbetrachtung zu ziehen.

Wir haben ein klares Ziel: Physikaufgaben verstehen, sie richtig und effizient lösen. Als Nächstes, ein direktes Feedback bekommen und aus Fehlern lernen.
Durch das Feedback werden wir besser. Dabei ist es besonders wichtig, dass das Lösen und Lernen bewusst und mit höchster Konzentration erfolgen soll, wie ich es im früheren Blogartikel beschrieben habe.

Diese Vorgehensweise hat eigentlich einen Namen. Anders Ericsson, Professor für Psychologie an der Florida State University und international anerkannter Experte im Bereich Expertise und Leistung, bezeichnet sie als deliberate practice (bewusste oder reflektierte Praxis).

 

Diesen sechsschrittigen Algorithmus habe ich auf der Grundlage der vier grundlegenden Prinzipien des Mathematikers George Pólya entwickelt. In seinem klassischen Buch „How to solve it“ empfiehlt er folgende Schritte beim Problemlösen:

  1. Zuerst musst du das Problem verstehen.
  2. Danach, entwickle einen Plan.
  3. Führe ihn aus.
  4. Schaue deine Arbeit an. Kannst du sie verbessern?

Als ich sein relativ dünnes Buch zum ersten Mal gelesen habe, schien mir der erste Schritt trivial zu sein. Folglich habe ich Pólya’ s explizite Warnung – es ist dumm eine Frage zu beantworten, die man nicht versteht – dummerweise ignoriert.

Schön, aber woher kannst du wissen, dass du die Aufgabe richtig verstanden hast?

Decke die Aufgabenstellung zu, visualisiere das Problem und wiederhole es in deinen eigenen Worten. Wenn du etwas nicht paraphrasieren kannst, dann hast du es höchstwahrscheinlich nicht verstanden.

 

Mental models, Werkzeuge und Klausuren

Das ist noch nicht alles. Es gibt nämlich einen Bösewicht am Semesterende – die Klausur.

Zum Glück helfen mental models nicht nur beim Aufgabenlösen, sondern auch bei der Prüfungsvorbereitung.

Wie das?

Ganz einfach.

Ich habe während des Semesters eine Liste mit drei Spalten geführt: Mit der Nummer der jeweiligen Übungsaufgabe, mit den angewandten mental models und mit den benutzten Werkzeugen.
(Da ich damals diese Bezeichnung nicht kannte, habe ich mental models einfach als Prinzipien bezeichnet. Und ich danke L.M., der mental models wie Pokemon sammelt – so seine Metapher.)

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Und unter Werkzeugen meine ich alle mathematischen Werkzeuge, die ich zum Lösen der Aufgaben gebraucht habe. Lösen eines dreidimensionalen Integrals mithilfe der Transformation in Kugelkoordinaten, Lösen der Integrale mithilfe des Feynman-Parameters, simples Kreuzprodukt, Determinante, das Gaußsche Eliminationsverfahren, usw. – das alles sind Werkzeuge.

Später im Studium wirst du viel coolere Werkzeuge zu benutzen lernen. Und ihre Bezeichnungen klingen auch schick: Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, Dichtematrix, Lorentz-Transformation, Delta-Funktion, Renormierung. Das mächtigste Werkzeug jedoch, das viele Studenten einschüchtert, ist die Symmetrie: „Und aus Symmetriegründen folgt … “ – was auch immer daraus folgt, ich habe nie solche Schlussfolgerungen ad hoc verstanden.

Am Semesterende musste ich nur noch sichergehen, dass ich jedes mental model und jedes Werkzeug aus dieser Liste beherrsche: Somit verwandelte sie sich automatisch in eine sehr hilfreiche Checkliste.

Meine Klausurvorbereitung musste letztendlich die drei folgenden Punkte erfüllen:

Identifiziere mental models

Beherrsche notwendige Werkzeuge

Löse viele unterschiedliche Aufgaben

Und das ist alles!

 

Ressourcen:

  • Seeking wisdom von Peter Bevelin
  • How to solve it von George Pólya
  • Peak: Secrets from the New Science of Expertise von K. Anders Ericsson

 

1 Kommentar

  1. Also ich muss ganz ehrlich sagen, ich sitze hier immer noch an meiner Physikaufgabe und verstehe sie nicht :D. Symmetrie hilft auch nicht. Es ist aber ein guter Beitrag. Dass man generell in der Physik Methoden lernt und nicht Stoff und diese Methoden dann auch draufhaben muss wurde mir schon klar. Die Idee, die Mental Models und Werkzeuge für jeweilige Aufgaben aufzuschreiben ist mir aber neu und könnte durchaus hilfreich sein

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